Toán học và nghệ thuật: nghiên cứu bình hoa khi coi nó là khối tròn xoay bởi Paolo Uccello ở thế kỷ thứ 15.

Khi một đường cong được xác định bởi dạng phương trình tham số (x(t),y(t)) trên đoạn [a,b], thể tích của khối tròn xoay xác định bởi đường sinh quay quanh trục x hoặc trục y cho bởi[1]:

V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t , {\displaystyle V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,} V y = ∫ a b π x 2 d y d t d t . {\displaystyle V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.}

Trong một số trường hợp, diện tích mặt của khối tròn xoay tạo bởi đường sinh xung quanh trục x hoặc trục y cho bởi[2]:

A x = ∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t , {\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,} A y = ∫ a b 2 π x ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . {\displaystyle A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.}